光学课老师提出可以去证一下圆环形等倾干涉图像为什么内疏外密？
上高中的时候就想证明了，一直拖到现在。
瞎想了一个证明如下，还不知道对不对，有问题希望可以和我交流。
证明思路如下：
设入射角为是$\theta$，折射角为$\alpha$,玻璃折射率n,单射光波长$\lambda$ 。
由常见推导可得：
$$\delta=2nd*Cos(\alpha)$$
对于两个相邻的条纹应用后变形有下式：
$$Cos\alpha _{2}-Cos\alpha _{1}= \frac{\lambda}{2nd}$$
发现相邻条纹余弦值之差是一个定值,令$Cos\alpha=t$。
于是要证内疏外密只需证明：$\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}<0 , \frac{\mathrm{d} r^{2}}{\mathrm{d} t^{2}}>0$。
结合实际后也就是证明图中曲线：
从题意已知以下关系。
$$Sin(\theta )=n*Sin(\alpha )$$ %折射定律
$$r=Tan(\theta )*d$$ %图示几何关系
利用反三角函数将$\alpha$用t表示,代入第一个关系，结果再代入第二个关系，得到结果。
$$r=Tan(ArcSin(n*Sin(ArcCos(t))))*d$$
使用mathematica化简得到
$$r=\frac{n \sqrt{1-t^2}}{\sqrt{1-n^2 \left(1-t^2\right)}}*d$$
$$\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}=-\frac{n t}{\sqrt{1-t^2} \left(n^2 \left(t^2-1\right)+1\right)^{3/2}}*d$$
$$\frac{\mathrm{d} r^{2}}{\mathrm{d} t^{2}}=-\frac{n^3 \left(3 t^4-2 t^2-1\right)+n}{\left(1-t^2\right)^{3/2} \left(n^2 \left(t^2-1\right)+1\right)^{5/2}}*d$$
在定义域内$\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}<0$显然成立。
通过求驻点可知$\left(3 t^4-2 t^2-1\right)$在定义域内小于0，于是在定义域内$$\frac{\mathrm{d} r^{2}}{\mathrm{d} t^{2}}>0$$也成立。
得证。